二阶线性微分方程|1
二阶微分方程的一般形式：
\[
\begin{equation}
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p(x) \frac{d y}{d x}+q(x) y=f(x)
\end{equation}
\]
当 \(f(x)=0\) 时，为二阶齐次线性微分方程；
当 \(f(x) \neq 0\) 时，为二阶非齐次线性微分方程；
\(n\) 阶线性微分方程：
\[
\begin{equation}
y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=f(x)
\end{equation}
\]
二阶线性微分方程解的结构
齐次
\[
\begin{equation}
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0
\end{equation}
\]
定理1：若 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是二阶齐次线性微分方程的解，则它们的线性组合为：
\[
\begin{equation}
\alpha y_{1}(x)+\beta y_{2}(x)
\end{equation}
\]
这也是该二阶齐次线性微分方程的解。
定理2：若 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是 \(y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0\) 的两个线性无关的解，则 \(y=\alpha y_{1}(x)+\beta y_{2}(x)\) ，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 为常数，是该二阶齐次线性微分方程的通解。
非齐次
定理：非齐次线性微分方程的通解 \(y\) 等于该方程的一个特解 \(y^*\) 加上相应的齐次线性微分方程的通解 \(\bar{y}\)。
证明：
设
\[
\begin{equation}
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p(x) \frac{d y}{d x}+q(x) y=f(x)
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
y=\bar{y}+y^{*}
\end{equation}
\]
将公式（6）的两项分别带入公式（5），我们可以得到：
\[
\begin{equation}
\frac{d^{2} \bar{y}}{d x^{2}}+p(x) \frac{d \bar{y}}{d x}+q(x) \bar{y}=0
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\frac{d^{2} y^{*}}{d x^{2}}+p(x) \frac{d y^{*}}{d x}+q(x) y^{*}=f(x)
\end{equation}
\]
两式相加得到：
\[
\begin{equation}
\frac{d^{2}\left(\bar{y}+y^{*}\right)}{d x^{2}}+p(x) \frac{d\left(\bar{y}+y^{*}\right)}{d x}+q(x)\left(\bar{y}+y^{*}\right)=f(x)
\end{equation}
\]
\(\therefore \bar{y}+y^{*}\) 为非齐次线性微分方程的解。
\(\because \bar{y}\) 是相应齐次线性微分方程的通解，包含两个任意常数。
\(\therefore \bar{y}+y^{*}\) 中也包含两个任意常数。
\(\therefore \bar{y}+y^{*}\) 为非齐次线性微分方程的通解。
解的叠加原理
若 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 分别是下列线性微分方程的解：
\[
\begin{align}
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p(x) \frac{d y}{d x}+q(x) y & = f_{1}(x) \\
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p(x) \frac{d y}{d x}+q(x) y & = f_{2}(x)
\end{align}
\]
则 \(y_{1}(x)+y_{2}(x)\) 也是下属线性微分方程的解：
\[
\begin{equation}
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p(x) \frac{d y}{d x}+q(x) y=f_{1}(x)+f_{2}(x)
\end{equation}
\]
二阶常系数齐次线性微分方程
定义：\(n\) 阶常系数线性微分方程的标准形式：
\[
\begin{equation}
y^{(n)}+p_{1} y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1} y^{\prime}+p_{n} y=f(x)
\end{equation}
\]
\(p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}\) 为常数。
二阶常系数齐次线性方程的标准形式：
\[
\begin{equation}
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0 \quad p, q \text { 为常数; }
\end{equation}
\]
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式：
\[
\begin{equation}
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x) \quad p, q \text { 为常数; }
\end{equation}
\]
特征方程法
特征方程法是一种用于求解线性常系数齐次微分方程的常见方法。它的基本思想是通过将微分方程转换为一个代数方程（即特征方程），然后求解这个代数方程来找到微分方程的解。
\[
\begin{equation}
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0
\end{equation}
\]
设 \(y=e^{\lambda x}\)，将其带入上述方程，我们可以得到：
\[
\begin{equation}
\left(\lambda^{2}+p \lambda+q\right) e^{\lambda x}=0
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\because e^{\lambda x}>0
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\therefore \lambda^{2}+p \lambda+q=0
\end{equation}
\]
公式（19）为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。
两个不同的实根
若 \(\lambda^{2}+p \lambda+q=0\) 有两个不同的实根，记为 \(\lambda_1\) 和 \(\lambda_2\)。
因此，原微分方程的两个特解为：
\[
\begin{align}
y_{1}(x) & = e^{\lambda_{1} x}\\
y_{2}(x) & = e^{\lambda_{2} x}
\end{align}
\]
因为 \(\lambda_{1} \neq \lambda_{2}\)，并且 \(\displaystyle \frac{y_{1}(x)}{y_{2}(x)}=e^{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) x} \neq \text { 常数 }\)。
所以原微分方程的通解为：
\[
\begin{equation}
y=C_{1} e^{\lambda_{1} x}+C_{2} e^{\lambda_{2} x}
\end{equation}
\]
两个相同的实根
若 \(\lambda^{2}+p \lambda+q=0\) 有两个相同的实根，记为 \(\displaystyle \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda=-\frac{p}{2}\) 。
我们可以得到一个特解 \(y_{1}(x)=e^{\lambda x}\) 。
设 \(y_2(x)\) 是与 \(y_1(x)\) 线性无关的特解，即 \(\displaystyle \frac{y_{1}(x)}{y_{2}(x)} \neq \text { 常数 }\)，并且设 \(y_{2}(x)=u(x) e^{\lambda x}\)。
将 \(y_{2}(x)=u(x) e^{\lambda x}\) 带入原微分方程并化简得到：
\[
\begin{equation}
\left[u^{\prime \prime}(x)+(2 \lambda+p) u^{\prime}(x)+\left(\lambda^{2}+p \lambda+q\right) u(x)\right] e^{\lambda x}=0
\end{equation}
\]
因为 \(\displaystyle \lambda=-\frac{p}{2}\) 和 \(\lambda^{2}+p \lambda+q=0\)，所以 \(u^{\prime \prime}=\mathbf{0}\)。
我们取 \(u(x)=x\)，可以得到：
\[
\begin{equation}
y_{2}(x)=x e^{\lambda x}
\end{equation}
\]
所以原微分方程的通解为：
\[
\begin{equation}
y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{\lambda x}
\end{equation}
\]
两个共轭复根
若 \(\lambda^{2}+p \lambda+q=0\) 有一对共轭复根 \(\alpha \pm \beta i\)，即 \(\lambda_{1}=\alpha+\beta i\) 和 \(\lambda_{2}=\alpha-\beta i\)。
原微分方程的两个特解：
\[
\begin{align}
y_{1}(x) = e^{\lambda_{1} x} = e^{(\alpha+\beta i) x}\\
y_{2}(x) = e^{\lambda_{2} x} = e^{(\alpha-\beta i) x}
\end{align}
\]
\(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 显然线性无关。
通解为：
\[
\begin{equation}
y=C_{1} e^{(\alpha+\beta i) x}+C_{2} e^{(\alpha-\beta i) x}
\end{equation}
\]
复数形式，涉及复数运算；
重新组合，变为实数形式；
由解的线性性质，我们可以得到：
\[
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{1}{2}\left[e^{(\alpha+\beta i) x}+e^{(\alpha-\beta i) x}\right]&=\frac{1}{2}\left[e^{\alpha x}\left(e^{\beta x i}+e^{-\beta x i}\right)\right] \\
&=\frac{1}{2}e^{\alpha x}[\cos \beta x+i \sin \beta x+\cos (-\beta x)+i \sin (-\beta x)]\\
&=e^{\alpha x} \cos \beta x
\end{aligned}
\end{equation}
\]
所以 \(e^{\alpha x} \cos \beta x\) 是原微分方程的特解。
同理
\[
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{1}{2 i}\left[e^{(\alpha+\beta i) x}-e^{(\alpha-\beta i) x}\right]&=\frac{1}{2i}\left[e^{\alpha x}\left(e^{\beta x i}-e^{-\beta x i}\right)\right] \\
& = \frac{1}{2 i}e^{\alpha x}[\cos \beta x+i \sin \beta x-\cos (-\beta x)-i \sin (-\beta x)] \\
& = e^{\alpha x} \sin \beta x
\end{aligned}
\end{equation}
\]
所以 \(e^{\alpha x} \sin \beta x\) 是原微分方程的特解。
并且
\[
\begin{equation}
\frac{e^{\alpha x} \cos \beta x}{e^{\alpha x} \sin \beta x} \neq \text { 常数 }
\end{equation}
\]
所以两个特解不是线性相关的，是两个独立的特解。
则原微分方程的通解为：
\[
\begin{equation}
y=e^{\alpha x}\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)
\end{equation}
\]
特征方程法是由常系数齐次线性微分方程的特征方程的根确定其通解的方法。
例题
例题1、求 \(\displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 \frac{d y}{d x}+6 y=0\) 通解。
解：
通过分析式子的形式，我们可以知道是二阶齐次线性微分方程。
我们可以得出对应的特征方程：
\[
\begin{equation}
\lambda^2+5\lambda+6=0
\end{equation}
\]
公式（33）有两个不同的实根：\(\lambda_1=-2\)、\(\lambda_2=-3\)
根据对应的通解公式：
\[
\begin{equation}
y=C_{1} e^{\lambda_{1} x}+C_{2} e^{\lambda_{2} x}
\end{equation}
\]
我们可以得到通解为：
\[
\begin{equation}
y=C_{1} e^{-2x}+C_{2} e^{-3 x}
\end{equation}
\]
其中 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是常数。
例题2、求 \(y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0\) 的通解。
解：
通过分析式子的形式，我们可以知道是二阶齐次线性微分方程。
我们可以得出对应的特征方程：
\[
\begin{equation}
\lambda^2-6\lambda+9=0
\end{equation}
\]
公式（36）有两个相同的实根：\(\lambda_1=\lambda_2=3\)
根据对应的通解公式：
\[
\begin{equation}
y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{\lambda x}
\end{equation}
\]
我们可以得到通解为：
\[
\begin{equation}
y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{3x}
\end{equation}
\]
其中 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是常数。
例题3、求 \(y^{\prime \prime}+4 y=0\) 满足 \(y(0)=0\) 和 \(y^{\prime}(0)=1\) 的特解。
解：
通过分析式子的形式，我们可以知道是二阶齐次线性微分方程。
我们可以得出对应的特征方程：
\[
\begin{equation}
\lambda^2+4=0
\end{equation}
\]
公式（39）有两个共轭复根：\(\lambda_1=2i\)、\(\lambda_2=-2i\)
所以，我们可以得到：\(\alpha=0\)、\(\beta=2\)
根据对应的通解公式：
\[
\begin{equation}
y=e^{\alpha x}\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)
\end{equation}
\]
我们可以得到的通解为：
\[
\begin{equation}
y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x
\end{equation}
\]
通解的导数为：
\[
\begin{equation}
y'=-2C_1\sin 2x+2C_2\cos 2x
\end{equation}
\]
将特解带入公式：
\[
\begin{align}
y(0)&=C_1=0\\
y'(0)&=2C_2=1
\end{align}
\]
我们可以得到具体的特解公式为：
\[
\begin{equation}
y=\frac{1}{2}\sin 2x
\end{equation}
\]