二阶线性微分方程|2¶
\(n\) 阶常系数齐次线性微分方程解法¶
标准形式：
\[
\begin{equation}
y^{(n)}+p_{1} y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1} y^{\prime}+p_{n} y=0
\end{equation}
\]
\(p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}\) 为常数。
特征方程为：
\[
\begin{equation}
\lambda^{n}+p_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+p_{n-1} \lambda+p_{n}=0
\end{equation}
\]
它在复数范围内恰有 \(n\) 个根。
同样有：
- 若 \(\lambda\) 是实的单重根，则 \(e^{\lambda x}\) 是微分方程的解；
- 若 \(\lambda\) 是实的 \(k\) 重根，则 \(e^{\lambda x}, x e^{\lambda x}, x^{2} e^{\lambda x}, \cdots, x^{k-1} e^{\lambda x}\) 是微分方程的 \(k\) 个线性无关的解；
- 若 \(\alpha \pm \beta i\) 是单重共轭复根，则 \(e^{\alpha x} \cos \beta x\) 和 \(e^{\alpha x} \sin \beta x\) 是微分方程的解；
- 若 \(\alpha \pm \beta i\) 是 \(k\) 重共轭复根，则微分方程有 \(2k\) 个线性无关的解：
\[
\begin{equation}
\begin{array}{cc}e^{\alpha x} \cos \beta x, & e^{\alpha x} \sin \beta x \\x e^{\alpha x} \cos \beta x, & x e^{\alpha x} \sin \beta x \\\vdots & \vdots\\x^{k-1} e^{\alpha x} \cos \beta x, & x^{k-1} e^{\alpha x} \sin \beta x\end{array}
\end{equation}
\]
\(n\) 阶常系数齐次线性微分方程的通解：
\[
\begin{equation}
y(x)=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)+\cdots+C_{n} y_{n}(x)
\end{equation}
\]
例题¶
例题1、求 \(y^{(5)}-2y^{(4)}+2 y^{(3)}-4y^{(2)}+y^{(1)}-2y=0\) 的通解。
解：
\[
\begin{equation}
\begin{array}{r}\lambda^5-2\lambda^4+2\lambda^3-4\lambda^2+\lambda-2 = 0\\\lambda^2(\lambda^3-2\lambda^2 +2\lambda-4)+\lambda -2 = 0\\\lambda ^2[(\lambda -2)\lambda^2+2(\lambda -2)]+\lambda -2 = 0\\(\lambda -2)\lambda ^2(\lambda ^2+2)+\lambda -2 = 0\\(\lambda -2)[\lambda ^2(\lambda ^2+2 )+1] = 0\\(\lambda-2)[\lambda ^4+2\lambda ^2+1] = 0\\(\lambda -2 )(\lambda ^2+1)^2 = 0 \end{array}
\end{equation}
\]
所以我们得到特征根为：
- \(\lambda_1=2\)
- \(\lambda_2=\lambda_3=i\)
- \(\lambda_4=\lambda_5=-i\)
特征根中有一个实的单重根和 2 重共轭复根。
因为是共轭复根 \(\alpha \pm \beta i\)，所以：\(\alpha=0\)、\(\beta=1\)
则通解为：
\[
\begin{equation}
y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+\left(C_{2}+C_{3} x\right) \cos x+\left(C_{4}+C_{5} x\right) \sin x .
\end{equation}
\]
例题2、求 \(y y^{\prime \prime}-\left(y^{\prime}\right)^{2}=y^{2} \ln y\) 的通解。
解：
设 \(\ln y=p\)，则：
\[
\begin{equation}
y=e^p
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
y'=p'e^p
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
y''=p''e^p+(p')^2e^p
\end{equation}
\]
将上述所有假设带入公式（6），我们可以得到：
\[
\begin{equation}
\begin{array}{rl}
e^{2p}[p''+(p')^2]-(p')^2e^{2p}&=&e^{2p}p\\
e^{2p}p''&=&e^{2p}p\\
p''&=&p\\
p''-p&=&0
\end{array}
\end{equation}
\]
\(p''-p=0\) 对应的特征方程为：
\[
\begin{equation}
\lambda^2-1=0
\end{equation}
\]
对应的特征根为：\(\lambda_1=1\)、\(\lambda_2=-1\)
根据对应的通解公式：
\[
\begin{equation}
p=C_{1} e^{\lambda_{1} x}+C_{2} e^{\lambda_{2} x}
\end{equation}
\]
我们可以得到通解为：
\[
\begin{equation}
p=C_{1} e^{1x}+C_{2} e^{-1 x}
\end{equation}
\]
其中 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是常数。
根据公式（7）我们可以得到 \(y\) 的具体形式为：
\[
\begin{equation}
y=e^{C_{1} e^{1x}+C_{2} e^{-1 x}}
\end{equation}
\]
例题3、求微分方程 \(y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=0\) 的通解。
解：
令 \(y^{\prime}=p\)，则
\[
\begin{equation}
y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}
\end{equation}
\]
代入微分方程，我们可以得到：
\[
\begin{equation}
y p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}-p^{2}=0
\end{equation}
\]
当 \(y \neq 0\)，\(p \neq 0\) 时，我们可以得到：
\[
\begin{equation}
y \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}=p
\end{equation}
\]
分离变量
\[
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d} p}{p}=\frac{\mathrm{d} y}{y}
\end{equation}
\]
两边积分
\[
\begin{equation}
\ln |p|=\ln |y|+\ln C_{1}
\end{equation}
\]
即
\[
\begin{equation}
p=C_{1} y
\end{equation}
\]
所以
\[
\begin{equation}
y^{\prime}=C_{1} y
\end{equation}
\]
原微分方程的通解为：
\[
\begin{equation}
\ln |y|=C_{1} x+\ln C_{2}
\end{equation}
\]
即
\[
\begin{equation}
y=C_{2} e^{\mathrm{C}_{1} x}
\end{equation}
\]
其中 \(C_1\) 和 \(C_2\) 为任意常数。
\(y=0\) 也是微分方程的解，所以也包含在通解中。
当 \(p=0\) 的时候，\(y=C\) 也被包含在通解中。