二阶线性微分方程|3
二阶常系数非齐次线性微分方程
标准形式：
\[
\begin{equation}
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)
\end{equation}
\]
其中 \(p\) 和 \(q\) 是常数。
对应的齐次方程：
\[
\begin{equation}
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0
\end{equation}
\]
非齐次方程的通解是相关齐次方程通解 \(\bar{y}\) 和非齐次方程式特解 \(y^{*}\) 之和：：
\[
\begin{equation}
y=\bar{y}(齐次通解)+y^{*}(非齐次特解)
\end{equation}
\]
常数变易法
如果已知相关齐次方程的通解 \(\bar{y}\)，则可以使用常数变易法找到非齐次方程。
二阶常系数非齐次线性微分方程有很多解的类型。不同的类型，我们有不同的解的形式。
设二阶齐次微分方程的通解为：
\[
\begin{equation}
\bar{y}(x)=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)
\end{equation}
\]
我们将考虑任意函数 \(C_1(x)\) 和 \(C_2(x)\)，而不是常数 \(C_{1}\) 和 \(C_{2}\)。通解将会变为：
\[
\begin{equation}
y(x)=C_{1}(x) y_{1}(x)+C_{2}(x) y_{2}(x)
\end{equation}
\]
对公式（5）进行求导，我们可以得到：
\[
\begin{equation}
y'=C_{1}' y_{1}+C_{1}y_{1}'+C_{2}' y_{2}+C_{2} y_{2}'
\end{equation}
\]
对函数加上一条限制：
\[
\begin{equation}
C_1'y_1+C_2'y_2=0
\end{equation}
\]
所以，我们可以得到：
\[
\begin{equation}
y'=C_1y_1'+C_2y_2'
\end{equation}
\]
对公示（8）进行求导，我们可以得到：
\[
\begin{equation}
y''=C_1'y_1'+C_1y_1''+C_2'y_2'+C_2y_2''
\end{equation}
\]
将公式（5）、公式（8）和公式（9）带入公式（1），我们可以得到：
\[
\begin{equation}
C_1'y_1'+C_1y_1''+C_2'y_2'+C_2y_2''+p(C_1y_1'+C_2y_2')+q(C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2} )=f(x)
\end{equation}
\]
整理得到：
\[
\begin{equation}
C_1'y_1'+C_2'y_2'+C_1(y_1''+py_1'+qy_{1})+C_2(y_2''+py_2'+qy_{2})=f(x)
\end{equation}
\]
因为 \(y_1\) 和 \(y_2\) 都是对应齐次方程的通解，所以我们可以得到：
\[
\begin{align}
y_1''+py_1'+qy_{1}=0\\
y_2''+py_2'+qy_{2}=0
\end{align}
\]
所以，我们可以得到：
\[
\begin{equation}
C_1'y_1'+C_2'y_2'=f(x)
\end{equation}
\]
根据公式（7）和公式（14），我们可以知道未知函数 \(C_1'(x)\) 和 \(C_2'(x)\) 可以从下述方程组中确定：
\[
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
C_{1}^{\prime}(x) y_{1}(x)+C_{2}^{\prime}(x) y_{2}(x)=0 \\
C_{1}^{\prime}(x) y_{1}^{\prime}(x)+C_{2}^{\prime}(x) y_{2}^{\prime}(x)=f(x)
\end{array}\right.
\end{equation}
\]
建立系数行列式：
\[
\begin{equation}
W=\left|\begin{array}{cc}y_{1} & y_{2} \\y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime}\end{array}\right|=y_{1} y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime} y_{2} \neq 0
\end{equation}
\]
解得
\[
\begin{align}
C_{1}^{\prime} & = -\frac{y_{2} f}{W}\\
C_{2}^{\prime} & = \frac{y_{1} f}{W}
\end{align}
\]
之后，我们将 \(C_1'(x)\) 和 \(C_2'(x)\) 再进行积分就可以得到 \(C_1(x)\) 和 \(C_2(x)\)：
\[
\begin{align}
C_{1} & = c_{1}+\int\left(-\frac{y_{2} f}{W}\right) \mathrm{d} x\\
C_{2} & = c_{2}+\int \frac{y_{1} f}{W} \mathrm{~d} x
\end{align}
\]
所以对应非齐次方程的通解为：
\[
\begin{equation}
y=c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2}-y_{1} \int \frac{y_{2} f}{W} \mathrm{~d} x+y_{2} \int \frac{y_{1} f}{W} \mathrm{~d} x
\end{equation}
\]
总结：
1. 常数变易法可以用于所有的线性微分方程。因此常数变易法比下面讲述的待定系数法应用方位更广。待定系数法仅限于常系数线性微分方程和 \(f(x)\) 具有特定形式的情况。在两种情况都适用时，待定系数法通常更加有效。
2. 在实际求解过程中，\(C_1'(x)\) 和 \(C_2'(x)\) 可能很难积分。这时，我们或许需要适用数值方法进行求解。
待定系数法
我们已经知道如何求解二阶常系数齐次线性微分方程的通解。
非齐次微分方程的右侧 \(f(x)\) 通常是指数、多项式或三角函数或这些函数的组合。在这种情况下，使用待定系数的方法来寻找这样一个方程的特解会更方便。
待定系数法仅适用于下述符合一定形式的函数类，例如：
（1）\(f(x)=P_{m}(x) \mathrm{e}^{\lambda x}\)，其中 \(\lambda\) 是常数，\(P_m(x)\) 是 \(x\) 的一个 \(m\) 次多项式：
\[
\begin{equation}
P_{m}(x)=a_{0} x^{m}+a_{1} x^{m-1}+\cdots+a_{m-1} x+a_{m}
\end{equation}
\]
（2）\(f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+P_{n}(x) \sin \omega x\right]\)，其中 \(\lambda\)、\(\omega\) 是常数，\(P_{l}(x)\)、\(P_{n}(x)\) 分别是 \(x\) 的 \(l\) 次、\(n\) 次多项式，且 \(l\) 和 \(n\) 至少有一个不为零。
注：如果 \(f(x)\) 不是上述两种形式，或对应的微分方程中没有常系数，则我们需要优先考虑常数变易法。
\(f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x} P_{m}(x)\) 型
我们知道，公式（1）的特解 \(y^*\) 是使公式（1）成立的函数。
因为公式（1）右端 \(f(x)\) 是多项式 \(P_{m}(x)\) 与指数函数 \(f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\) 的乘积。多项式与指数函乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积。因此，我们假设解的形式为：
\[
\begin{equation}
y^{*}=Q(x) \mathrm{e}^{\lambda x}
\end{equation}
\]
其中 \(Q(x)\) 是多项式。
我们需要求出 \(y^*\) 、\((y^*)'\) 和 \((y^*)''\) 的具体形式：
\[
\begin{align}
y^{*} & = Q(x) \mathrm{e}^{\lambda x} \\
(y^{*})' & = \mathrm{e}^{\lambda x}\left[\lambda Q(x)+Q^{\prime}(x)\right]\\
(y^{*})'' & = \mathrm{e}^{\lambda x}\left[\lambda^{2} Q(x)+2 \lambda Q^{\prime}(x)+Q^{\prime \prime}(x)\right]
\end{align}
\]
带入公式（1）并消去 \(\mathrm{e}^{\lambda x}\)，我们可以得到：
\[
\begin{equation}
Q^{\prime \prime}(x)+(2 \lambda+p) Q^{\prime}(x)+\left(\lambda^{2}+p \lambda+q\right) Q(x)=P_{m}(x)
\end{equation}
\]
（i） 如果 \(\lambda\) 不是公式（2）的特征方程 \(r^{2}+p r+q=0\) 的根，即 \(\lambda^{2}+p \lambda+q \neq 0\)。
公式（27）左边是 \(\left(\lambda^{2}+p \lambda+q\right) Q(x)\) 项的幂次最高。
由于 \(P_{m}(x)\) 是一个 \(m\) 次多项式，要使公式（27）的两端恒等，我们需要使 \(Q(x)\) 为另一个 \(m\) 次多项式 \(Q_m(x)\)：
\[
\begin{equation}
Q_{m}(x)=b_{0} \cdot x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m-1} x+b_{m}
\end{equation}
\]
将公式（28）带入公式（27），并比较等式两端 \(x\) 同幂次的系数，我们就可以得到以 \(b_{0}, b_{1}, \cdots, b_{m}\) 作为未知数的 \(m+1\) 个方程的联立方程组。
之后，我们就可以得到 \(b_{i}(i=0,1, \cdots, m)\) ，并以此求出特解的具体形式。
（ii） 如果 \(\lambda\) 是特征方程 \(r^{2}+p r+q=0\) 的单根，即 \(\lambda^{2}+p \lambda+q=0\)。
根据韦达定理，特征方程的两个根满足 \(\lambda_1+\lambda_2+p=0\)。
但是 \(\lambda\) 是特征方程 \(r^{2}+p r+q=0\) 的单根，所以 \(2 \lambda+p\ne 0\)。
公式（27）左边是 \((2 \lambda+p) Q^{\prime}(x)\) 项的幂次最高。
要使公式（27）两端恒等，我们需要 \(Q^{\prime}(x)\) 必须是 \(m\) 次多项式。
此时可令
\[
\begin{equation}
Q(x)=x Q_{m}(x)
\end{equation}
\]
并用（i）中同样的方法来确定 \(Q_{m}(x)\) 中的系数 \(b_{i}(i=0,1, \cdots, m)\)。
（iii） 如果 \(\lambda\) 是特征方程 \(r^{2}+p r+q=0\) 的重根，即 \(r^{2}+p r+q=0\)，且 \(2 \lambda+p=0\)，要使公式（27）的两端恒等，那么 \(Q^{\prime \prime}(x)\) 必须是 \(m\) 次多项式。
此时可令
\[
\begin{equation}
Q(x)=x^{2} Q_{m}(x)
\end{equation}
\]
并用同样的方法来确定 \(Q_{m}(x)\) 中的系数 \(b_{i}(i=0,1, \cdots, m)\)。
综上所述，我们有如下结论：
如果公式（1）中的\(f(x)\) 符合 \(f(x)=P_{m}(x) \mathrm{e}^{\lambda x}\)，则二阶常系数非齐次线性微分方程具有下述形式的特解：
\[
\begin{equation}
y^{*}=x^{k} Q_{m}(x) \mathrm{e}^{\lambda r}
\end{equation}
\]
其中 \(Q_{m}(x)\) 是与 \(P_{m}(x)\) 同次幂的多项式。\(k\) 的取值如下：
\[
\begin{equation}
k=\left\{\begin{array}{ll}0 & \lambda \text { 不是根 } \\1 & \lambda \text { 是单根 } \\2 & \lambda \text { 是重根 }\end{array}\right.
\end{equation}
\]
注：如果 \(\lambda\) 不是特征方程的根，则 \(k\) 取为 0；若 \(\lambda\) 是特征方程的 \(s\) 重根，则 \(k\) 取为 \(s\)。
\(f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+P_{n}(x) \sin \omega x\right]\) 型
根据欧拉公式：
\[
\begin{align}
\cos \theta & = \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}\right)\\
\sin \theta & = \frac{1}{2 \mathrm{i}}(\cos \theta-\mathrm{i} \sin \theta)
\end{align}
\]
我们可以把非齐次项 \(f(x)\) 表示成复变指数函数的形式：
\[
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(x) & =\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l} \cos \omega x+P_{n} \sin \omega x\right] \\
& =\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}}{2}+P_{n} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega x}}{2 \mathrm{i}}\right] \\
& =\left(\frac{P_{l}}{2}+\frac{P_{n}}{2 \mathrm{i}}\right) \mathrm{e}^{(\lambda+\mathrm{i} \omega) x}+\left(\frac{P_{l}}{2}-\frac{P_{n}}{2 \mathrm{i}}\right) \mathrm{e}^{(\lambda-\mathrm{i} \omega) x} \\
& =P(x) \mathrm{e}^{(\lambda+\mathrm{i} \omega) x}+\bar{P}(x) \mathrm{e}^{(\lambda-\mathrm{i} \omega) x}
\end{aligned}
\end{equation}
\]
其中
\[
\begin{align}
P(x) & = \frac{P_{l}}{2}+\frac{P_{\mathrm{n}}}{2 \mathrm{i}} = \frac{P_{l}}{2}-\frac{P_{n}}{2} \mathrm{i}\\
\bar{P}(x) & = \frac{P_{l}}{2}-\frac{P_{n}}{2 \mathrm{i}} = \frac{P_{l}}{2}+\frac{P_{n}}{2} \mathrm{i}
\end{align}
\]
我们可以发现公式（36）和公式（37）是互成共轭的 \(m\) 次多项式。
\(m\) 的具体取值为：
\[
\begin{equation}
m=\max[l,n]
\end{equation}
\]
到这里我们可以发现，通过变换，我们把 \(f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+P_{n}(x) \sin \omega x\right]\) 转换成类似 \(f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x} P_{m}(x)\) 的形式。
对于公式（35）中的第一项 \(P(x) \mathrm{e}^{(\lambda+i \omega) x}\)，我们可以求出一个 \(m\) 次多项式 \(Q_{m}(x)\)，从而得到一个特解：
\[
\begin{equation}
y_{1}^{*}=x^{k} Q_{m} \mathrm{e}^{(\lambda+\mathrm{i} \omega) x}
\end{equation}
\]
如果 \(\lambda+\mathrm{i} \omega\) 是特征方程的根，\(k=1\)；
如果 \(\lambda+\mathrm{i} \omega\) 不是特征方程的根，\(k=0\)；
公式（39）并不是原非齐次方程的特解，而是下述非齐次方程的特解：
\[
\begin{equation}
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=P(x) \mathrm{e}^{(\lambda+i \omega) x}
\end{equation}
\]
由于公式（35）的第二项 \(\bar{P}(x) \mathrm{e}^{(\lambda-\mathrm{i} \omega) x}\) 与第一项 \(P(x) \mathrm{e}^{(\lambda+\mathrm{i} \omega) x}\) 互成共轭，所以 \(y^*_1\) 的共轭函数 \(y_{2}^{*}=x^{k} \bar{Q}_{m} \mathrm{e}^{(\lambda-\mathrm{i} \omega ) x}\) 一定是下述非齐次方程的特解：
\[
\begin{equation}
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=\bar{P}(x) \mathrm{e}^{(\lambda-\mathrm{i} \omega) x}
\end{equation}
\]
其中 \(\bar{Q}_{m}\) 与 \(Q_{m}\) 是互相共轭的 \(m\) 次多项式。
解的叠加原理：设非齐次线性方程 \(y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)\) 右端 \(f(x)\) 是两个函数之和，即
\[
\begin{equation}
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f_{1}(x)+f_{2}(x)
\end{equation}
\]
而 \(y_{1}^{*}(x)\) 和 \(y_{2}^{*}(x)\) 分别是下述方程的特解：
\[
\begin{align}
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y & = f_{1}(x) \\
y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y & = f_{2}(x)
\end{align}
\]
那 \(y_{1}^{*}(x)+y_{2}^{*}(x)\) 就是原方程的特解。
根据解的叠加原理，\(f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+P_{n}(x) \sin \omega x\right]\) 型的非齐次方程的特解为：
\[
\begin{equation}
y^*=x^{k} Q_{m} \mathrm{e}^{(\lambda+i \omega) x}+x^{k} \bar{Q}_{m} \mathrm{e}^{(\lambda-i \omega) x}
\end{equation}
\]
也可以写为：
\[
\begin{equation}
\begin{aligned}y^{*} & =x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[Q_{m} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega x}+\bar{Q}_{m} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega x}\right] \\& =x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[Q_{m}(\cos \omega x+\mathrm{i} \sin \omega x)+\bar{Q}_{m}(\cos \omega x-\mathrm{i} \sin \omega x)\right]\end{aligned}
\end{equation}
\]
也可以写成：
\[
\begin{equation}
y^{*}=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R_{m}^{(1)}(x) \cos \omega x+R_{m}^{(2)}(x) \sin \omega x\right]
\end{equation}
\]
综上，我们有如下结论：
如果非齐次线性微分方程的非齐次项符合形式 \(f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{l}(x) \cos \omega x+P_{n}(x) \sin \omega x\right]\)，则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可为：
\[
\begin{equation}
y^{*}=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R_{m}^{(1)}(x) \cos \omega x+R_{m}^{(2)}(x) \sin \omega x\right]
\end{equation}
\]
其中 \(R_{m}^{(1)}(x)\)、\(R_{m}^{(2)}(x)\) 是 \(m\) 次多项式。
\(m=\max \{l, n\}\)；
如果 \(\lambda+\mathrm{i} \omega\) 或 \(\lambda-\mathrm{i} \omega\) 是特征方程的根，\(k=1\)；
如果 \(\lambda+\mathrm{i} \omega\) 或 \(\lambda-\mathrm{i} \omega\) 不是特征方程的根，\(k=0\)；
注：公式（48）中的 \(k\) 是特征方程中根 \(\lambda+\mathrm{i} \omega\) 或 \(\lambda-\mathrm{i} \omega\) 的重复次数。
总结
- 如果微分方程的非齐次项 \(f(x)\) 出现指数项 \(\mathrm{e}^{\lambda x}\)，则特解中一定含有该指数项。因为 \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) 无论如何求导都无法消去（坚强因子）。
- 同理，如果微分方程的非齐次项 \(f(x)\) 出现正弦或余弦项，则特解中一定含有正弦或余弦。
- 微分方程的特解中的 \(\lambda\) 与通解中的根 \(\lambda_1\) 和 \(\lambda_2\) 是具有不同含义的。我们需要根据 \(\lambda\) 是否等于 \(\lambda_1\) 或 \(\lambda_2\) 来判断特解的形式。