二维无限深势阱¶
一个粒子束缚于二维无限深方形阱内，阱宽在 \(x\) 与 \(y\) 方向，分别为 \(L_{x}\)，\(L_{y}\)。
阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。
粒子只能移动于束缚的方向（\(x\) 与 \(y\) 方向）。
设二维无限深势阱的势能分布如下：
\[U(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}0 & if~~0<x<L_x~~and~~0<y<L_y \\\infty & otherwise \end{array}\right.\]
在这二维的问题里，粒子束缚于一个二维势阱内。
在阱外，设波函数为 \(\psi_e\)，定态薛定谔方程为：
\[\displaystyle-\frac{\hbar}{2 m}(\frac{\mathrm{d}^{2} \psi_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d} x^{2}}+\frac{\mathrm{d}^{2} \psi_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d} y^{2}})+(E-U(x,y)) \psi_{\mathrm{e}}=0\]
由于在阱外，\(U(x,y)\rightarrow \infty\)，对于 \(E\) 为有限值的粒子，要使上述方程成立，唯有\(\psi_e=0\)。
在阱内，设波函数为 \(\psi_i\)，定态薛定谔方程为：
\[\displaystyle-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2} \psi_i}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi_i}{\partial y^{2}}\right)=E \psi_i\]
使用分立变量法，我们假设 \(\psi_i(x, y)\) 是两个不相关的函数 \(X(x)\) 和 \(Y(y)\) 的乘积：
\[\psi_i(x, y)=X(x) Y(y)\]
将上式带入阱内的薛定谔方程：
\[\displaystyle-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(Y \frac{\partial^{2} X}{\partial x^{2}}+X \frac{\partial^{2} Y}{\partial y^{2}}\right)=E X Y\]
将方程两边都除以 \(XY\)，我们可以得到：
\[\displaystyle-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{X^{\prime \prime}}{X}+\frac{Y^{\prime \prime}}{Y}\right)=E\]
由于 \(\displaystyle\frac{X^{\prime \prime}}{X}\) 和 \(\displaystyle\frac{Y^{\prime \prime}}{Y}\) 分别只和 \(x\)、\(y\) 有关，则上式右边的能量可以写成 \(E_{x}+E_{y}=E\)。
我们可以将上式分量，分量的两个式子分别等于对应的常数：
\[
\begin{array}{c}\displaystyle-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{X^{\prime \prime}}{X}=E_{x}\\\displaystyle-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{Y^{\prime \prime}}{Y}=E_{y}\end{array}
\]
上述两式也可以写成：
\[
\begin{array}{c}\displaystyle-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} X}{d x^{2}}=E_{x} X\\\displaystyle-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} Y}{d y^{2}}=E_{y} Y\end{array}
\]
根据之前的“一维无限深势阱”的文章：
上述两式的解可以写成：
\[
\begin{array}{c}\displaystyle X_{n_{x}}(x)=\sqrt{\frac{2}{L_{x}}} \sin \left(\frac{n_{x} \pi x}{L_{x}}\right),\quad n_{x}=1,2,3, \cdots\\\displaystyle E_{n_x}=\frac{n_x^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2 m L_x^{2}}\\\displaystyle Y_{n_{y}}(y)=\sqrt{\frac{2}{L_{y}}} \sin \left(\frac{n_{y} \pi y}{L_{y}}\right),\quad n_{y}=1,2,3, \cdots\\\displaystyle E_{n_y}=\frac{n_y^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2 m L_y^{2}}\end{array}
\]
根据式子 \(\psi_i(x, y)=X(x) Y(y)\)，我们可以得到：
\[
\begin{array}{c}\displaystyle\psi_{n_{x}, n_{y}}(x,y)=\sqrt{\frac{4}{L_{x} L_{y}}} \sin \left(\frac{n_{x} \pi x}{L_{x}}\right) \sin \left(\frac{n_{y} \pi y}{L_{y}}\right)\\\displaystyle E_{n_x,n_y}=E_{n_x}+E_{n_y}=\frac{ \pi^{2} \hbar^{2}}{2 m}\left[\left(\frac{n_{x}}{L_{x}}\right)^{2}+\left(\frac{n_{y}}{L_{y}}\right)^{2}\right]\\n_{x}=1,2,3, \cdots\\n_{y}=1,2,3, \cdots\end{array}
\]