哈密顿量常见的三种形式

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哈密顿量是一个算符，常见有以下三种形式：

用 Dirac 记号表示

波函数可以写成 Dirac 记号：\(\psi=|\psi\rangle\)

对应的厄米共轭波函数为：\(\psi=\langle\psi|\)

内积：\(\langle\phi \mid \psi\rangle=\int \phi^{*}(q) \psi(q) d q\)

外积：\(|\psi\rangle\langle\phi|\)（表示为一个算符）

当 \(\psi=\phi\)，外积 \(\hat{P}=|\psi\rangle\langle\psi|\) 也被称为投影算符。

在 \(A\) 表象下，有一组正交归一的完备基 \(\left\{\left|a_{i}\right\rangle\right\}\)，满足：

完备性：\(\displaystyle\sum_{i}\left|a_{i}\right\rangle\left\langle a_{i}\right|=1\)

正交归一性：\(\left\langle a_{i} \mid a_{j}\right\rangle=\delta_{i j}\)

在该表象下，波函数写为：

\[ |\psi\rangle=\sum_{i}\left|a_{i}\right\rangle\left\langle a_{i} \mid \psi\right\rangle=\sum_{i} c_{i}\left|a_{i}\right\rangle \]

在该表象下，算符写为：

\[ \begin{aligned}\hat{H} & =\sum_{i}\left|a_{i}\right\rangle\left\langle a_{i}\left|\hat{H} \sum_{j}\right| a_{j}\right\rangle\left\langle a_{j}\right| \\& =\sum_{i j}\left|a_{i}\right\rangle\left\langle a_{i}|\hat{H}| a_{j}\right\rangle\left\langle a_{j}\right| \\& =\sum_{i j} H_{i j}\left|a_{i}\right\rangle\left\langle a_{j}\right|\end{aligned} \]

用产生/湮灭算符来表示

在粒子数表象（二次量子化）下，单体算符 \(\displaystyle\hat{H}=\sum_{i} \hat{h}\left(q_{i}\right)\) 可以写为：

\[ \hat{H}=\sum_{i j} h_{i j} \hat{c}_{i}^{\dagger} \hat{c}_{j} \]

证明过程略。其中，\(\hat{c}\) 是湮灭算符，\(\hat{c}^{\dagger}\) 是产生算符，对于费米子系统，有 \(\{\hat{c}_i, \hat{c}_j\}=\delta_{ij}\)。系数为 \(h_{ij}=\langle i|\hat{h}| j\rangle\)。\(\hat{h}\) 表示的是某个粒子态对应的算符（单粒子态算符）。

需要说明的是：这里的表达式与第一种用 Dirac 记号表示的表达式十分类似，但这里表象是已经选定为粒子数表象，给出的表达式只适用于单体算符，如果是二体算符或者多体算符，表达式会更复杂一些。而第一种用 Dirac 记号表示的表达式是一般的、抽象的结论，适用于所有表象，其中基矢量 \(\{|a_{i} \rangle\}\) 还没有给出具体的形式，要求是正交归一完备的即可。当表象选取为粒子数表象，同时只考虑单体问题时，这两种表示方式在物理上是等价的。

用场算符来表示

场算符的定义为：

\[ \hat{\psi}(q)=\sum_{i} \hat{c}_{i} \psi_{i}(q) \]

对应的厄米共轭场算符为：

\[ \hat{\psi}^{\dagger}(q)=\sum_{i} \hat{c}_{i}^{\dagger} \psi_{i}^{*}(q) \]

单体算符 \(\displaystyle\hat{H}=\sum_{i}\hat{h}(q_i)\) 可以写为：

\[ \hat{H}=\int \hat{\psi}^{\dagger}(q) \hat{h}(q) \hat{\psi}(q) d q \]

其中，\(\hat{h}(q)\) 表示的是某个粒子态对应的算符（单粒子态算符）。

证明：把定义式代入上述表达式，得到

\[ \begin{aligned}\hat{H} & =\int \hat{\psi}^{\dagger}(q) \hat{h}(q) \hat{\psi}(q) d q \\& =\int \sum_{i} \hat{c}_{i}^{\dagger} \psi_{i}^{*}(q) \hat{h}(q) \sum_{j} \hat{c}_{j} \psi_{j}(q) d q \\& =\sum_{i j} \hat{c}_{i}^{\dagger} \hat{c}_{j} \int \psi_{i}^{*}(q) \hat{h}(q) \psi_{j}(q) d q \\& =\sum_{i j}\langle i|\hat{h}| j\rangle \hat{c}_{i}^{\dagger} \hat{c}_{j} \\& =\sum_{i j} h_{i j} \hat{c}_{i}^{\dagger} \hat{c}_{j}\end{aligned} \]

得到第二种用产生/湮灭算符来表示的表达式，证毕。

参考资料

[1] 国科大金彪老师高等量子力学课堂笔记

[2] 季燕江《量子力学讲义》

[3] 百度百科：狄拉克符号

[4] 百度文库：P(四章第四讲)狄拉克符号