态密度（Density of States）

定义

态密度表示的是在单位体积、单位能量内电子的状态数，即

\[ g(E)=\frac{d N}{d E}=\frac{d N}{d k} \frac{d k}{d E} \]

公式推导如下：

倒空间中单位体积内的电子状态数

（1）对于一维的体系，有 \(kL=2\pi n\)，其中 \(L\) 的体系的长度。所以有 \(\displaystyle k=\frac{2\pi n}{L}\)。

两个 \(k\) 点之间的间距为： \(\displaystyle\Delta k=\frac{2\pi}{L}\)

在倒空间的单位体积中有 \(k\) 点个数：\(\displaystyle g_k=\frac{L}{2\pi}\)

令 \(L=1\)，得到对于实空间的单位体积，倒空间的单位体积中 \(k\) 点的个数：\(\displaystyle g_k=\frac{1}{2\pi}\)

考虑自旋后，表达式写为：\(\displaystyle g_k=\frac{2}{2\pi}\)

（2）对于二维的体系：\(\displaystyle g_k=\frac{2}{(2\pi)^2}\)

（3）对于三维的体系：\(\displaystyle g_k=\frac{2}{(2\pi)^3}\)

单位能量中电子状态数

假设能带结构为：\(\displaystyle E=\frac{\hbar^2}{2m}k^2\)

我们可以得到： \(\displaystyle k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)

（1）对于一维的体系，在微分能量 \(dE\) 中，\(k\) 的分布范围是两个线段，体积为 \(dV_k=2 dk\)，因此状态数：\(\displaystyle dN=g_k \cdot dV_k=2 dk \frac{2}{2\pi}\)

态密度：

\[ \begin{aligned}g(E) & =\frac{dN}{dE}\\&=\frac{d N}{d k} \cdot \frac{d k}{d E} \\& =2 \frac{2}{2 \pi} \cdot \frac{m}{\hbar^{2} k}\\&=2 \frac{2 m}{2 \pi \hbar^{2}} \cdot \frac{1}{k} \\& =2 \frac{2 m}{2 \pi \hbar^{2}} \cdot \frac{\hbar}{\sqrt{2 m E}} \\& =2 \frac{\sqrt{2 m}}{h} \frac{1}{\sqrt{E}}\end{aligned} \]

（2）对于二维的体系，在微分能量 \(dE\) 中，\(k\) 的分布范围是一个环带，体积为 \(dV_k=2\pi k dk\)，因此状态数：\(\displaystyle dN=g_k \cdot dV_k=2\pi k dk \frac{2}{(2\pi)^2}\)

态密度：

\[ \begin{aligned}g(E) & =\frac{d N}{d E}\\&=\frac{d N}{d k} \cdot \frac{d k}{d E} \\& =2 \pi k \frac{2}{(2 \pi)^{2}} \cdot \frac{m}{\hbar^{2} k} \\& =2 \pi \frac{2 m}{h^{2}} \cdot 1 \\& =\frac{m}{\pi \hbar^{2}}\end{aligned} \]

（3）对于三维的体系，在微分能量 \(dE\) 中，\(k\) 的分布范围是一个球壳，体积为 \(dV_k=4\pi k^2 dk\)，因此状态数：\(\displaystyle dN=g_k \cdot dV_k=4\pi k^2 dk\frac{2}{(2\pi)^3}\)

态密度：

\[ \begin{aligned}g(E) & =\frac{d N}{d E}\\&=\frac{d N}{d k} \cdot \frac{d k}{d E} \\& =4 \pi k^{2} \frac{2}{(2 \pi)^{3}} \cdot \frac{m}{\hbar^{2} k}\\&=4 \pi \frac{2 m}{(2 \pi)^{3} \hbar^{2}} k \\& =4 \pi \frac{2 m}{(2 \pi)^{3} \hbar^{2}} \frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar} \\& =4 \pi \frac{(2 m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \sqrt{E}\end{aligned} \]

说明：以上几个推导公式仅适用于均匀的倒空间点阵以及简单的能带结构。

参考资料：

[1] 北京科技大学 Prof. Xinhe Zheng 的半导体物理课件