狄拉克方程

狭义相对论

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狭义相对论是仅描述平直线性的时空（指没有引力的，即闵可夫斯基时空）的相对论理论。

牛顿的时空观认为运动空间是平直非线性的时空，可以用一个三维的速度空间来描述；时间并不是独立于空间的单独一维，而是空间坐标的自变量。

狭义相对论同样认为空间和时间并不是相互独立的，它们应该用一个统一的四维时空来描述，并不存在绝对的空间和时间。

在狭义相对论中，整个时空仍然是平直线性的，所以在其中就存在“全局惯性系”。

狭义相对论将“真空中，光速为常数”作为基本假设，结合狭义相对性原理和上述时空的性质可以推出洛伦兹变换。¹

在狭义相对论中，洛伦兹变换描述时空中两个惯性参考系的时间、空间坐标之间的变换关系。它最早由洛伦兹从以太说推出，用以解决经典力学与经典电磁学间的矛盾（即迈克耳孙-莫雷实验的零结果）。后被爱因斯坦用于狭义相对论。

当两个参考系 \(s\) 与 \(s'\) 在时刻 \(t=0\) 的时刻重合时，且 \(s'\) 相对于 \(s\) 以速度 \(v\) 沿正方向运动时，一个事件在 \(s\) 系的坐标 \((x,y,z,t)\) 与在 \(s'\) 系的坐标 \((x',y',z',t')\) 满足以下关系：

\[\begin{array}{l}\displaystyle x^{\prime}=\frac{x-v t}{\sqrt{\displaystyle1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \\y^{\prime}=y \\z^{\prime}=z \\t^{\prime}=\frac{\displaystyle t-\frac{v}{c^{2}} x}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\end{array}\quad\quad\overset{逆变换}{ \longrightarrow}\quad \quad\begin{array}{l}\displaystyle x=\frac{x^{\prime}+v t^{\prime}}{\sqrt{\displaystyle1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \\y=y^{\prime} \\z=z^{\prime} \\t=\frac{\displaystyle t^{\prime}+\frac{v}{c^{2}} x^{\prime}}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\end{array}\]

矩阵形式：

\[\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\c t^{\prime}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\gamma & -\beta \gamma \\-\beta \gamma & \gamma\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\c t\end{array}\right]\]

其中

\[ \begin{array}{ll}\displaystyle\beta=\frac{v}{c}\\\displaystyle\gamma=\frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}(洛伦兹因子)\end{array} \]

张量形式：

\[x_{i}^{\prime}=a_{i j} x_{j}\]

其中

\[ \begin{array}{ll}x_{i}^{\prime}=\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\c t^{\prime}\end{array}\right]\\x_{j}=\left[\begin{array}{c}x \\c t\end{array}\right]\\a_{i j}=\left[\begin{array}{cc}\gamma & -\beta \gamma \\-\beta \gamma & \gamma\end{array}\right]\end{array} \]

注：洛伦兹变换要求 \(t=0\) 时，\(x=0\)，\(y=0\) ,\(z=0\)，并且相对速度仅有 \(x\) 分量。

质量-速度关系

在 \(s\) 和 \(s'\) 系中的原点处，分别有质量为 \(m_0\) 的质点。\(s'\) 系以速度 \(v\) 沿 \(x\) 轴正方向运动，并且分别静止在两个参考系中的质点将发生碰撞。

\[ \begin{array}{ll}\displaystyle x'=\frac{x-v t}{\sqrt{\displaystyle1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\y'=y\\z'= z\\\displaystyle t'=\frac{\displaystyle t-\frac{v}{c^{2}} x}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\end{array} \]

因为有洛伦兹因子 \(\displaystyle\gamma=\frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)，上述两式可以转化为：

\[ \begin{array}{ll}x'=\gamma(x-vt)\\y'=y\\z'= z\\\displaystyle t'=\gamma(\displaystyle t-\frac{v}{c^{2}} x)\end{array} \]

根据上式，我们可以求出对应的速度：

\[ \begin{array}{ll}\displaystyle v'_x=\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx'/dt}{dt'/dt}= \frac{\gamma(\displaystyle \frac{dx}{dt}-v\frac{dt}{dt})}{\displaystyle\gamma(\frac{dt}{dt}-\frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt} )}=\frac{\gamma (v_x-v)}{\displaystyle\gamma (1-\frac{v}{c^2}v_x )}=\frac{v_x-v}{\displaystyle1-\frac{v}{c^2}v_x } \\\displaystyle v'_y=\frac{dy'}{dt'}=\frac{dy'/dt}{dt'/dt}=\frac{dy/dt}{\displaystyle\gamma(1-\frac{v}{c^2}v_x)}=\frac{v_y}{\displaystyle 1-\frac{v}{c^2}v_x}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \\\displaystyle v'_z=\frac{dz'}{dt'}=\frac{dz'/dt}{dt'/dt}=\frac{dz/dt}{\displaystyle\gamma(1-\frac{v}{c^2}v_x)}=\frac{v_z}{\displaystyle 1-\frac{v}{c^2}v_x}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \end{array} \]

其中 \(v_x'\) 的公式可以变化为：

\[\begin{aligned}v_{x}^{\prime} & =\frac{v_{x}-v}{\displaystyle 1-\frac{v}{c^{2}} v_{x}} \\v_{x}^{\prime}-\frac{v}{c^{2}} v_{x} v_{x}^{\prime} & =v_{x}-v \\-\frac{v}{c^{2}} v_{x} v_{x}^{\prime}-v_{x} & =-v_{x}^{\prime}-v \\\frac{v}{c^{2}} v_{x} v_{x}^{\prime}+v_{x} & =v_{x}^{\prime}+v \\\left(\frac{v}{c^{2}}v_{x}^{\prime}+1\right) v_{x} & =v_{x}^{\prime}+v \\v_{x} & =\frac{v_{x}^{\prime}+v}{\displaystyle1+\frac{v}{c^{2}}v_{x}^{\prime}}\end{aligned}\]

惯性系 \(s\) 和 \(s'\)，粒子随 \(s'\) 以速度 \(v\) 沿 \(s\) 系 \(x\) 轴正方向匀速运动。

\(s\)系：粒子的质量为 \(M\)，动量为 \(Mv\)。

\(s'\) 系：动量为 0 。

在 \(s'\) 系的某时刻，粒子分裂为两个全同粒子 A 和 B ，其质量都是 \(m'\)。

根据动量守恒定律，我们可以得到：

\[ \begin{array}{c}m'v_A'+m'v_B'&=&0\\v_A'&=&-v_B'\end{array} \]

设 A 和 B 粒子速度的大小为 \(|v|\)，则全同粒子 A 和 B 的速度分别为：

\[ \begin{array}{ll}v_A'=-v\\v_B'=v\end{array} \]

在 \(s\) 系中，设 A 和 B 粒子的质量和速度为：\(m_A,v_A,m_B,v_B\)

通过分析，我们可以得到 A 粒子的速度在 \(s\) 系中为：\(v_A=0\)

B 粒子的速度在 \(s\) 系中不为 0 。

根据公式 \(\displaystyle v_{x}=\frac{v_{x}^{\prime}+v}{\displaystyle1+\frac{v}{c^{2}}v_{x}^{\prime}}\)，我们可以得到：

\[ \begin{array}{ll}\displaystyle v_{A}=\frac{v_{A}^{\prime}+v}{\displaystyle1+\frac{v}{c^{2}}v_{A}^{\prime}}=0\\\displaystyle v_{B}=\frac{v_{B}^{\prime}+v}{\displaystyle1+\frac{v}{c^{2}}v_{B}^{\prime}}=\frac{2v}{\displaystyle1+\frac{v^2}{c^2}}\end{array} \]

根据动量守恒定律和质量守恒，我们可以得到：

\[ \begin{array}{ll}M v&=m_{A} v_{A}+m_{B} v_{B}\\M&=m_{A}+m_{B}\end{array} \]

所以我们可以推得：

\[\left.\begin{array}{c}v_{A}=0\\v_{B}=\frac{\displaystyle2v}{\displaystyle1+\frac{v^2}{c^2}}\\M v=m_{A} v_{A}+m_{B} v_{B}\\M=m_{A}+m_{B}\end{array}\right\}\Rightarrow m_B=\frac{\displaystyle m_A}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{v_B^2}{c^2} } } \]

因为 \(v_A=0\)，所以 \(m_A=m_0\)。

因为 \(v_B=v\)，所以 \(m_B=m\)。

则，上述公式可以写成：

\[\displaystyle m=\frac{m_0}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } \]

上式就是在狭义相对论中的质量随速度变化的公式。

背景

在理论物理学中，相对于非相对论量子力学的薛定谔方程，狄拉克方程是相对论量子力学中描述自旋 \(\frac{1}{2}\) 粒子波函数的重要方程。

Paul Dirac

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这一方程由英国物理学家 Paul Dirac 于 1928 年提出，它巧妙地融合了狭义相对论和量子力学的原理，可以被看作是薛定谔方程的洛伦兹协变形式。

在 1933 年，Paul Dirac 因为“发现了新的原子理论的有效形式”而获得诺贝尔物理学奖。

Carl David Anderson

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狄拉克方程的提出预言了反粒子的存在，并在 1932 年由 Carl David Anderson 发现正电子的实验证实了这一预言。

在 1936 年，Carl David Anderson 因为“正电子的发现”而获得诺贝尔物理学奖。31 岁的 Carl David Anderson 是当时最年轻的诺贝尔将获得者。

狄拉克方程推导

一个物理量不仅应该只有空间分量，还应该有时间分量。

四维坐标矢量：\((c t, \boldsymbol{r})=(c t, x, y, z)\)

四维动量矢量：\(\displaystyle\left(\frac{E}{c}, \boldsymbol{p}\right)=\left(\frac{E}{c}, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)\)

四维电流密度矢量：\((c \rho, \boldsymbol{i})=\left(c \rho, i_{x}, i_{y}, i_{z}\right)\)

四维势矢： \(\displaystyle\left(\frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A}\right)=\left(\frac{\phi}{c}, A_{x}, A_{y}, A_{z}\right)\)

偏微分算符： \(\displaystyle\left(\frac{i \hbar}{c} \frac{\partial}{\partial t},-i \hbar \nabla\right)=\left(\frac{i \hbar}{c} \frac{\partial}{\partial t},-i \hbar \frac{\partial}{\partial x},-i \hbar \frac{\partial}{\partial y},-i \hbar \frac{\partial}{\partial z}\right)\)

在相对论中速度与质量的关系为：

\[\displaystyle m=\frac{m_0}{\displaystyle\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } \]

质量与能量的关系为：

\[E=mc^2\]

因此，我们可以推得：

\[\begin{aligned}m & =\frac{m_{0}}{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \\m^{2} c^{2} & =\frac{m_{0}^{2} c^{2}}{\displaystyle1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \\m^{2} c^{2}-m^{2} v^{2} & =m_{0}^{2} c^{2} \\m^{2} c^{4}-p^{2} c^{2} & =m_{0}^{2} c^{4} \\m^{2} c^{4} & =p^{2} c^{2}+m_{0}^{2} c^{4} \\E^{2} & =p^{2} c^{2}+m_{0}^{2} c^{4}\end{aligned}\]

将 \(E^{2}=c^{2} \boldsymbol{p}^{2}+m^{2} c^{4}\) 作用到波函数 \(\phi\) 上，我们可以得到：

\[\displaystyle-\hbar^{2} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial t^{2}}=\left(-c^{2} \hbar^{2} \nabla^{2}+m^{2} c^{4}\right) \phi\]

整理一下，得到克莱因戈登方程：

\[\displaystyle\left(\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}+\left(\frac{m c}{\hbar}\right)^{2}\right) \phi=0\]

我们对能量进行开根：

\[E=\sqrt{c^{2} \boldsymbol{p}^{2}+m^{2} c^{4}}\Rightarrow \sqrt{-c^{2} \hbar^{2} \nabla^{2}+m^{2} c^{4}}\]

我们通过矢量的线性组合把根号去掉：

\[\sqrt{c^{2} \boldsymbol{p}^{2}+m^{2} c^{4}}=c \boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{p}+m c^{2} \beta\]

\(\boldsymbol{\alpha}=\left(\alpha_{x}, \alpha_{y}, \alpha_{z}\right)\) 是矢量算符；

\(\beta\) 是一般算符；

总结出来的规律：

• \(\boldsymbol{\alpha}\) 和 \(\beta\) 不对易；
• \(\boldsymbol{\alpha}\) 和 \(\beta\) 都是厄米算符；
• \(\boldsymbol{\alpha}\) 和 \(\beta\) 都与时间空间无关，并都与 \(\boldsymbol{p}\) 对易；

\[c^{2} \boldsymbol{p}^{2}+m^{2} c^{4}=c^{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}+m^{2} c^{2}\right)\]

\[\begin{aligned}\left(c \boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{p}+m c^{2} \beta\right)^{2}= & c^{2}\left(\alpha_{x} p_{x}+\alpha_{y} p_{y}+\alpha_{z} p_{z}+m c \beta\right)\left(\alpha_{x} p_{x}+\alpha_{y} p_{y}+\alpha_{z} p_{z}+m c \beta\right) \\= & c^{2}\left(\alpha_{x}^{2} p_{x}^{2}+\alpha_{y}^{2} p_{y}^{2}+\alpha_{z}^{2} p_{z}^{2}+m^{2} c^{2} \beta^{2}\right) \\& +c^{2}\left(\left(\alpha_{y} \alpha_{z}+\alpha_{z} \alpha_{y}\right) p_{y} p_{z}+\left(\alpha_{z} \alpha_{x}+\alpha_{x} \alpha_{z}\right) p_{z} p_{x}+\left(\alpha_{x} \alpha_{y}+\alpha_{y} \alpha_{x}\right) p_{x} p_{y}\right) \\& +m c^{3}\left(\left(\alpha_{x} \beta+\beta \alpha_{x}\right) p_{x}+\left(\alpha_{y} \beta+\beta \alpha_{y}\right) p_{y}+\left(\alpha_{z} \beta+\beta \alpha_{z}\right) p_{z}\right)\end{aligned}\]

通过上述两式，我们可以得到：

\[ \begin{array}{ll}\alpha_{x}^{2}=\alpha_{y}^{2}=\alpha_{z}^{2}=\beta^{2}=1\\\left(\alpha_{y} \alpha_{z}+\alpha_{z} \alpha_{y}\right)=\left(\alpha_{z} \alpha_{x}+\alpha_{x} \alpha_{z}\right)=\left(\alpha_{x} \alpha_{y}+\alpha_{y} \alpha_{x}\right)=0\\\left(\alpha_{x} \beta+\beta \alpha_{x}\right)=\left(\alpha_{y} \beta+\beta \alpha_{y}\right)=\left(\alpha_{z} \beta+\beta \alpha_{z}\right)=0\end{array} \]

当满足上述三个等式关系的时候，我们可以得到：\(E=c \boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{p}+m c^{2} \beta\)

将其算符化：\(\displaystyle\left(\frac{E}{c}, \boldsymbol{p}\right) \rightarrow\left(\frac{i \hbar}{c} \frac{\partial}{\partial t},-i \hbar \nabla\right)\)

将上式作用得到 \(\psi\) 上面，然后我们就可以得到狄拉克方程：

\[ \begin{array}{c}\displaystyle i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\left(-i \hbar c \boldsymbol{\alpha} \cdot \nabla+\beta m c^{2} \right) \psi\\H=-i \hbar c \boldsymbol{\alpha} \cdot \nabla+\beta m c^{2} \end{array} \]

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1. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%AD%E4%B9%89%E7%9B%B8%E5%AF%B9%E8%AE%BA ↩

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